Почему в формах Регистрация, Вспомнить пароль, Комментарий статьи, Позвоните мне и Быстрый заказ вместо капчи пустой прямоугольник (ошибка "Файл изображения не найден"). Притом в форме Обратная связь цифры капчи видны.

Если открыть URL с адресом капчи, то есть http://site.ru/captcha/?unique=СЛУЧАЙНОЕ-ЧИСЛО, то на экране

Посмотрели реврайты для капчи из .htaccess, так вот

Притом на другом хостинге сделали копию сайта и там капча видна во всех формах.

Знаете какие то настройки хостинга или нужно править URL капчи в формах шаблона? На другом же работает без правок.

Смотри файл .htaccess строка 226

# Защитный код

RewriteRule  ^captcha/?$           index.php?module=Captcha  [NC,L,QSA]
RewriteRule  ^captcha\.(jpg|php)$  index.php?module=Captcha  [NC,L,QSA]

добавь ниже

RewriteRule  ^captcha/index\.html?$  index.php?module=Captcha  [NC,L,QSA]

проблемы исчезнут.

Бред. Nginx стоит перед Apache и настроен на отдачу статики, что будете делать?

http://.../captcha/ внутрене nginx редиректит на http://.../captcha/index.html
http://.../captcha/index.html это статика, nginx отдаст её до htaccess.

Добавленная строка rewrite уже до фени.

Лучше исправить в tplях шаблона captcha/?unique= на captcha.jpg?unique= и не зависеть от конфига хостинга.
Этож ваш шаблон, при апдейте cms он не затрется.

А исправить captcha/?unique= в модулях common_parts разработчику надо раз и навсегда.